Площадь тре формула. Как рассчитать площадь треугольника? Задача о квадрате, вписанном в прямоугольный треугольник
Можно найти, зная основание и высоту . Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a 1 и a 2 , а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника , площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:
Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника : Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.
Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.
Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.
Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению
Определение треугольника
Треугольник - это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.
Онлайн-калькулятор
Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).
Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.
Формула площади треугольника по основанию и высоте
S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h S = 2 1 ⋅ a ⋅ h ,
A a
a
- основание треугольника;
h h
h
- высота треугольника, проведенная к данному основанию a.
Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).
Решение
A = 10 a=10
a
=
1
0
h = 5 h=5
h
=
5
Подставляем в формулу для площади и получаем:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot 5=25
S
=
2
1
⋅
1
0
⋅
5
=
2
5
(см. кв.)
Ответ: 25 (см. кв.)
Формула площади треугольника по длинам всех сторон
S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,
A , b , c a, b, c
a
,
b
,
c
- длины сторон треугольника;
p p
p
- половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):
P = 1 2 (a + b + c) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p = 2 1 (a + b + c )
Эта формула называется формулой Герона .
ПримерНайти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).
Решение
A = 3 a=3
a
=
3
b = 4 b=4
b
=
4
c = 5 c=5
c
=
5
Найдем половину периметра p p p :
P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6 p = 2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6
Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:
S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 S = 6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (см. кв.)
Ответ: 6 (см. кв.)
Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам
S = a 2 2 ⋅ sin β sin γ sin (β + γ) S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)} S = 2 a 2 ⋅ sin (β + γ ) sin β sin γ ,
A a
a
- длина стороны треугольника;
β , γ \beta, \gamma
β
,
γ
- углы, прилежащие к стороне a a
a
.
Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
A = 10 a=10
a
=
1
0
β = 3 0 ∘ \beta=30^{\circ}
β
=
3
0
∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^{\circ}
γ
=
3
0
∘
По формуле:
S = 1 0 2 2 ⋅ sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 S = 2 1 0 2 ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (см. кв.)
Ответ: 14.4 (см. кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R} S = 4 R a ⋅ b ⋅ c ,
A , b , c a, b, c
a
,
b
,
c
- стороны треугольника;
R R
R
- радиус описанной окружности вокруг треугольника.
Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус R R R окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).
Решение
A = 3 a=3
a
=
3
b = 4 b=4
b
=
4
c = 5 c=5
c
=
5
R = 10 R=10
R
=
1
0
S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 S = 4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (см. кв.)
Ответ: 1.5 (см.кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
S = p ⋅ r S=p\cdot r
p p
p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2}
a , b , c a, b, c
ПримерПусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.
Решение
a = 3 a=3
p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac{3+4+5}{2}=6
S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12
Ответ: 12 (см. кв.)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α) S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)
b , c b, c
α \alpha
ПримерСтороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
b = 5 b=5
S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5
Ответ: 7.5 (см. кв.)
Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:
- Прямоугольный.
- Тупоугольный.
- Остроугольный.
- Разносторонний.
- Равносторонний.
- Равнобедренный.
Общие формулы для вычисления площади треугольника
Формула площади треугольника по длине и высоте
S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.
Формула Герона
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.
Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка
S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.
Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам
S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности
S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Формула площади треугольника по декартовым координатам точек
Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.
Как найти площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.
Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам
S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.
Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу
S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.
Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника
Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.
Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника
S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.
Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.
Как найти площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.
Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.
Треугольник - три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, которые их соединяют. Иначе, треугольник - это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника также равны и равняются 60°.
Площадь произвольного треугольника вычисляется по формулам: или
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
Площадь правильного или равностороннего треугольника вычисляется по формулам: или или
Где a ,b ,c - стороны треугольника, h - высота треугольника, y - угол между сторонами, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.
Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.
Особенности треугольника
Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.
Геометрия треугольника
Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.
Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:
- остроугольный - все углы фигуры острые;
- тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
- прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
- равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
- равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
- В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.
Площадь треугольника
Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:
где a - сторона треугольника, h - его высота.
Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:
- три стороны;
- две стороны и угол между ними;
- одну сторону и два угла.
Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
где p - полупериметр треугольника.
Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:
S = a × b × sin(alfa),
где alfa - угол между сторонами a и b.
Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)
Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из жизни
Тротуарная плитка
Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:
Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.
Школьная задача
В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ
При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.
Заключение
Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.