N. Ņikitins Ģeometrija. Paralēlas līnijas. Vizuālais ceļvedis (2020) Saprotiet, ka līnijas ir paralēlas
Divu taisnes paralēlisma pazīmes
1. teorēma. Ja divām taisnēm krustojas ar sekantu:
šķērsotie leņķi ir vienādi vai
attiecīgie leņķi ir vienādi, vai
vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad
līnijas ir paralēlas(1. att.).
Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādīšanu.
Lai krustojošās taisnes a un b ir šķērsām un leņķi AB ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.
Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M, un tāpēc viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais leņķis. Noteiktības labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais leņķis, bet ∠ 6 – iekšējais leņķis. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.
Secinājums 1. Divas dažādas taisnes plaknē, kas ir perpendikulāra vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).
komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pierādīšanas metodi ar pretrunu vai redukciju līdz absurdam. Šī metode saņēma savu pirmo nosaukumu, jo argumenta sākumā tiek izteikts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par novedšanu pie absurda tāpēc, ka, spriežot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (līdz absurdam). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.
1. uzdevums. Izveidojiet taisni, kas iet caur doto punktu M un paralēli noteiktai taisnei a, nevis iet caur punktu M.
Risinājums. Caur punktu M velkam taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).
Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.
No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, vienmēr ir iespējams novilkt taisni paralēli dotajai.
Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.
Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai.
Apskatīsim dažas paralēlu līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.
1) Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru (4. att.).
2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).
Pareiza ir arī sekojošā teorēma.
2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad:
šķērsām leņķi ir vienādi;
attiecīgie leņķi ir vienādi;
vienpusējo leņķu summa ir 180°.
Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai(skat. 2. att.).
komentēt. 2. teorēmu sauc par 1. teorēmas apgriezto. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir inverss, tas ir, ja dotā teorēma ir taisnība, tad apgrieztā teorēma var būt nepatiesa.
Paskaidrosim to, izmantojot vertikālo leņķu teorēmas piemēru. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Apgrieztā teorēma būtu: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem nav jābūt vertikāliem.
1. piemērs. Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka starpība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30°. Atrodiet šos leņķus.
Risinājums. Ļaujiet 6. attēlam atbilst nosacījumam.
1. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas:
Ja a||c Un b||c, Tas a||b.
2. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas:
Ja a⊥c Un b⊥c, Tas a||b.
Atlikušās līniju paralēlisma pazīmes ir balstītas uz leņķiem, kas veidojas, divām taisnēm krustojoties ar trešo.
3. Ja iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad taisnes ir paralēlas:
Ja ∠1 + ∠2 = 180°, tad a||b.
4. Ja attiecīgie leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas:
Ja ∠2 = ∠4, tad a||b.
5. Ja iekšējie šķērsleņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas:
Ja ∠1 = ∠3, tad a||b.
Paralēlu līniju īpašības
Paziņojumi, kas ir apgriezti paralēlu līniju īpašībām, ir to īpašības. Tie ir balstīti uz leņķu īpašībām, kas veidojas, krustojoties divām paralēlām taisnēm ar trešo līniju.
1. Kad divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, to veidoto iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180°:
Ja a||b, tad ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kad divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, to attiecīgie leņķi ir vienādi:
Ja a||b, tad ∠2 = ∠4.
3. Kad divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, to veidotie šķērsleņķi ir vienādi:
Ja a||b, tad ∠1 = ∠3.
Šis rekvizīts ir īpašs gadījums katram iepriekšējam:
4. Ja plaknes taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai:
Ja a||b Un c⊥a, Tas c⊥b.
Piektā īpašība ir paralēlu līniju aksioma:
5. Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, paralēli dotajai taisnei var novilkt tikai vienu taisni.
Paralēlisms ir ļoti noderīga īpašība ģeometrijā. Reālajā dzīvē paralēlas malas ļauj radīt skaistas, simetriskas lietas, kas patīk jebkurai acij, tāpēc ģeometrijai vienmēr ir bijuši veidi, kā pārbaudīt šo paralēlismu. Par paralēlo līniju zīmēm mēs runāsim šajā rakstā.
Paralelisma definīcija
Ļaujiet mums izcelt definīcijas, kas jums jāzina, lai pierādītu divu līniju paralēlisma pazīmes.
Taisnes sauc par paralēlām, ja tām nav krustošanās punktu. Turklāt risinājumos paralēlas līnijas parasti tiek apvienotas ar sekantu.
Sekanta taisne ir taisne, kas krusto abas paralēlās līnijas. Šajā gadījumā tiek veidoti krusteniski guļoši, atbilstoši un vienpusēji leņķi. Leņķu pāri 1 un 4 atrodas šķērsām; 2 un 3; 8 un 6; 7 un 5. Atbilstošie būs 7 un 2; 1 un 6; 8 un 4; 3 un 5.
Vienpusējs 1 un 2; 7 un 6; 8 un 5; 3 un 4.
Pareizi formatējot ir rakstīts: “Šķērsošanās leņķi divām paralēlām taisnēm a un b un sekantam c”, jo divām paralēlām līnijām var būt bezgalīgi daudz sekantu, tāpēc jānorāda, kuru sekantu tu domā.
Tāpat, lai pierādītu, jums būs nepieciešama trijstūra ārējā leņķa teorēma, kas nosaka, ka trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu trijstūra leņķu summu, kas nav tam blakus.
Zīmes
Visas paralēlo līniju zīmes balstās uz zināšanām par leņķu īpašībām un teorēmu par trijstūra ārējo leņķi.
1. zīme
Divas taisnes ir paralēlas, ja krustošanās leņķi ir vienādi.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Šķērsvirziena leņķi 1 un 4 ir vienādi. Pieņemsim, ka līnijas nav paralēlas. Tas nozīmē, ka taisnes krustojas un ir jābūt krustošanās punktam M. Tad izveidojas trijstūris ABM ar ārējo leņķi 1. Ārējam leņķim jābūt vienādam ar leņķu 4 un ABM kā tam neblakusošo summu saskaņā ar teorēmu. uz ārējo leņķi trijstūrī. Bet tad izrādās, ka leņķis 1 ir lielāks par leņķi 4, un tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumiem, kas nozīmē, ka punkts M neeksistē, taisnes nekrustojas, tas ir, tās ir paralēlas.
Rīsi. 1. Zīmējums pierādījumam.
2. zīme
Divas taisnes ir paralēlas, ja attiecīgie leņķi šķērsvirzienā ir vienādi.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Atbilstošie leņķi 7 un 2 ir vienādi. Pievērsīsim uzmanību leņķim 3. Tas ir vertikāli pret leņķi 7. Tas nozīmē, ka leņķi 7 un 3 ir vienādi. Tas nozīmē, ka leņķi 3 un 2 arī ir vienādi, jo<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Rīsi. 2. Zīmējums pierādījumam.
3. zīme
Divas taisnes ir paralēlas, ja to vienpusējo leņķu summa ir 180 grādi.
Rīsi. 3. Zīmējums pierādījumam.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Vienpusējo leņķu 1 un 2 summa ir vienāda ar 180 grādiem. Pievērsīsim uzmanību leņķiem 1 un 7. Tie atrodas blakus. Tas ir:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Atņemiet otro no pirmās izteiksmes:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Ko mēs esam iemācījušies?
Mēs detalizēti analizējām, kādi leņķi tiek iegūti, griežot paralēlas līnijas ar trešo līniju, identificējām un detalizēti aprakstījām trīs paralēlu līniju pazīmju pierādījumu.
Tests par tēmu
Raksta vērtējums
Vidējais vērtējums: 4.1. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 220.
Tie nekrustojas neatkarīgi no tā, cik ilgi tie tiek turpināti. Taisnu līniju paralēlisms rakstveidā tiek apzīmēts šādi: AB|| ARE
Šādu līniju pastāvēšanas iespējamību pierāda teorēma.
Teorēma.
Caur jebkuru punktu, kas atrodas ārpus noteiktas līnijas, var novilkt punktu, kas ir paralēls šai taisnei.
Ļaujiet ABšī taisnā līnija un AR kāds punkts ņemts ārpus tā. Tas ir jāpierāda caur AR jūs varat novilkt taisnu līniju paralēliAB. Nolaidīsim to līdz AB no punkta AR perpendikulāriARD un tad diriģēsim ARE^ ARD, kas ir iespējams. Taisni C.E. paralēli AB.
Lai to pierādītu, pieņemsim pretējo, t.i., to C.E. krustojas AB kādā brīdī M. Tad no punkta M uz taisnu līniju ARD mums būtu divi dažādi perpendikuli MD Un JAUNKUNDZE, kas nav iespējams. nozīmē, C.E. nevar krustoties ar AB, t.i. ARE paralēli AB.
Sekas.
Divi perpendikuli (CEUnD.B.) līdz vienai taisnei (CD) ir paralēli.
Paralēlu līniju aksioma.
Caur vienu un to pašu punktu nav iespējams novilkt divas dažādas līnijas, kas ir paralēlas vienai un tai pašai līnijai.
Tātad, ja taisni ARD, izvilkts caur punktu AR paralēli līnijai AB, tad katrā otrajā rindā ARE, kas izvilkts caur to pašu punktu AR, nevar būt paralēls AB, t.i. viņa turpina krustosies Ar AB.
Pierādīt šo ne visai acīmredzamo patiesību izrādās neiespējami. To pieņem bez pierādījumiem kā nepieciešamu pieņēmumu (postulatum).
Sekas.
1. Ja taisni(ARE) krustojas ar vienu no paralēli(ZA), tad tas krustojas ar citu ( AB), jo citādi caur to pašu punktu AR būtu divas dažādas līnijas, kas iet paralēli AB, kas nav iespējams.
2. Ja katrs no diviem tiešā veidā (AUnB) ir paralēli tai pašai trešajai līnijai ( AR) , tad viņi paralēli savā starpā.
Patiešām, ja mēs tā pieņemam A Un B krustojas kādā brīdī M, tad cauri šķērsotu divas dažādas līnijas, kas ir paralēlas šim punktam AR, kas nav iespējams.
Teorēma.
Ja līnija ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra otrai paralēli.
Ļaujiet AB || ARD Un E.F. ^ AB.Tas ir jāpierāda E.F. ^ ARD.
PerpendikulāriEF, kas krustojas ar AB, noteikti šķērsos un ARD. Ļaujiet krustojumam būt H.
Tagad pieņemsim to ARD nav perpendikulāri EH.. Tad, piemēram, kāda cita taisne H.K., būs perpendikulāra EH. un tāpēc caur to pašu punktu H būs divi taisna paralēla AB: viens ARD, pēc nosacījuma un otrs H.K. kā jau iepriekš pierādīts. Tā kā tas nav iespējams, to nevar pieņemt ZA nebija perpendikulāra EH..
1. Pirmā paralēlisma pazīme.
Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.
Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni EF un ∠1 = ∠2. Ņemsim punktu O - sekanta EF segmenta KL vidu (Zīm.).
Nolaidīsim perpendikulu OM no punkta O uz taisni AB un turpinām, līdz tā krustojas ar taisni CD, AB ⊥ MN. Pierādīsim, ka CD ⊥ MN.
Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: ∠1 = ∠2 saskaņā ar teorēmu; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;
∠MOL = ∠NOK, tāpat kā vertikālie leņķi. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tāpēc ΔMOL = ΔNOK, un līdz ar to ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO ir taisns, kas nozīmē, ka ∠KNO arī ir taisns. Tādējādi taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, tāpēc tās ir paralēlas, kas bija jāpierāda.
Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustpunktu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180°.
2. Otrā paralēlisma pazīme.
Apskatīsim, vai taisnes AB un CD ir paralēlas, ja, tām krustojot trešo taisni EF, attiecīgie leņķi ir vienādi.
Lai daži atbilstošie leņķi ir vienādi, piemēram, ∠ 3 = ∠2 (Zīm.);
∠3 = ∠1, kā vertikālie leņķi; tas nozīmē, ka ∠2 būs vienāds ar ∠1. Bet leņķi 2 un 1 krustojas iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divas taisnes krustojas ar trešo, krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi, tad šīs līnijas ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.
Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
Paralēlu līniju konstruēšana, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri, balstās uz šo īpašību. Tas tiek darīts šādi.
Piestiprināsim trīsstūri lineālam, kā parādīts attēlā. Mēs pārvietosim trīsstūri tā, lai viena no tā malām slīdētu gar lineālu, un mēs novilksim vairākas taisnas līnijas pa kādu citu trijstūra malu. Šīs līnijas būs paralēlas.
3. Trešā paralēlisma pazīme.
Ļaujiet mums zināt, ka tad, kad divas taisnes AB un CD krustojas ar trešo taisni, jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180°). Vai šajā gadījumā taisnes AB un CD būs paralēlas (att.).
Ļaujiet ∠1 un ∠2 būt iekšējiem vienpusējiem leņķiem un saskaitiet līdz 2 d.
Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kā blakus leņķi. Tāpēc ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Tādējādi ∠1 = ∠3, un šie iekšējie leņķi atrodas šķērsām. Tāpēc AB || CD.
Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d (vai 180°), tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
Paralēlu līniju zīmes:
1. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.2. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
3. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
4. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.
5. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.
Eiklida paralēlisma aksioma
Uzdevums. Caur punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, novelciet līniju, kas ir paralēla taisnei AB.
Izmantojot pārbaudītās teorēmas par līniju paralēlisma pazīmēm, šo problēmu var atrisināt dažādos veidos,
Risinājums. 1. solis (199. zīmējums).
Uzzīmējam MN⊥AB un caur punktu M zīmējam CD⊥MN;
mēs iegūstam CD⊥MN un AB⊥MN.
Pamatojoties uz teorēmu (“Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai taisnei, tad tās ir paralēlas.”) secinām, ka CD || AB.
2. metode (200. zīmējums).
Novelkam MK, kas krustojas AB jebkurā leņķī α, un caur punktu M novelkam taisni EF, veidojot leņķi EMK ar taisni MK, kas vienāds ar leņķi α. Pamatojoties uz teorēmu (), secinām, ka EF || AB.
Atrisinot šo uzdevumu, varam uzskatīt, ka ir pierādīts, ka caur jebkuru punktu M, kas atrodas ārpus taisnes AB, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni. Rodas jautājums: cik taisnes var pastāvēt, kas ir paralēlas noteiktai taisnei un iet caur noteiktu punktu?
Konstrukcijas prakse ļauj pieņemt, ka ir tikai viena šāda taisne, jo ar rūpīgi izpildītu zīmējumu taisnes, kas dažādos veidos novilktas caur vienu un to pašu punktu paralēli tai pašai taisnei, saplūst.
Teorētiski atbildi uz uzdoto jautājumu sniedz tā sauktā Eiklida paralēlisma aksioma; tas ir formulēts šādi:
Caur punktu, kas ņemts ārpus dotās taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni.
201. zīmējumā caur punktu O ir novilkta taisne SC, kas ir paralēla taisnei AB.
Jebkura cita taisne, kas iet caur punktu O, vairs nebūs paralēla taisnei AB, bet krustos to.
Aksiomu, ko Eiklīds pieņēma savos elementos un kurā teikts, ka plaknē caur punktu, kas ņemts ārpus noteiktas taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni. Eiklida paralēlisma aksioma.
Vairāk nekā divus tūkstošus gadu pēc Eiklida daudzi matemātiķi mēģināja pierādīt šo matemātisko apgalvojumu, taču viņu mēģinājumi vienmēr bija nesekmīgi. Tikai 1826. gadā izcilais krievu zinātnieks, Kazaņas universitātes profesors Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis pierādīja, ka, izmantojot visas pārējās Eiklida aksiomas, šo matemātisko apgalvojumu nevar pierādīt, ka tas tiešām ir jāpieņem kā aksioma. N.I.Lobačevskis radīja jaunu ģeometriju, kuru atšķirībā no Eiklida ģeometrijas sauc par Lobačevska ģeometriju.